Tin tức

[Tìm hiểu] công thức tính nhanh đạo hàm của các hàm số cơ bản

[Tìm hiểu] công thức tính nhanh đạo hàm của các hàm số cơ bản

Các công thức đạo hàm là phần kiến thức Toán 11 rất quan trọng nhưng lại nhiều và khá phức tạp. Nếu không được luyện tập thường xuyên học sinh sẽ dễ dàng quên ngay. Bài viết hôm nay, Ukunifair sẽ hệ thống lại đầy đủ và chi tiết công thức tính nhanh đạo hàm và nhiều dạng bài tập thường gặp. Các bạn xem để lưu lại nhé !

I. LÝ THUYẾT CHUNG

1. Đạo hàm là gì ?

Bạn đang xem: [Tìm hiểu] công thức tính nhanh đạo hàm của các hàm số cơ bản

Trong giải tích toán học, đạo hàm của một hàm số thực chất là sự mô tả sự biến thiên của hàm số tại một điểm nào đó. 

Trong vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời của một điểm chuyển động hoặc cường độ dòng điện tức thời tại một điểm trên dây dẫn.

Trong hình học đạo hàm là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị biểu diễn hàm số. Tiếp tuyến đó là xấp xỉ tuyến tính gần đúng nhất của hàm ở gần giá trị đầu vào.

2. Đạo hàm của các hàm số lượng giác là gì?

Đạo hàm của các hàm lượng giác là phương pháp toán học tìm tốc độ biến thiên của một hàm số lượng giác theo sự biến thiên của biến số. Các hàm số lượng giác thường gặp là sin(x), cos(x) và tan(x).

II. CÔNG THỨC TÍNH NHANH ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

1. Đạo hàm của hàm phân thức

Để tính đạo hàm phân thức ta sử dụng chung một công thức

left( {frac{u}{v}} right)' = frac{{u'.v - v'.u}}{{{v^2}}}

Công thức đặc biệt: left( {frac{1}{x}} right)' = frac{{ - 1}}{{{x^2}}};left( {frac{1}{u}} right)' = - frac{{u'}}{{{u^2}}}

2. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 1/ bậc 1

y = frac{{ax + b}}{{cx + d}} Rightarrow y' = frac{{ad - bc}}{{{{left( {cx + d} right)}^2}}}

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số:

a. y = frac{{3x - 2}}{{x - 1}} b. y = frac{{x + 5}}{{2x + 3}}

Hướng dẫn giải

a. y' = frac{{3.left( { - 1} right) - left( { - 2} right).1}}{{{{left( {x - 1} right)}^2}}} = frac{{ - 1}}{{{{left( {x - 1} right)}^2}}}

b. y' = frac{{1.3 - 5.2}}{{{{left( {2x + 3} right)}^2}}} = frac{{ - 7}}{{{{left( {2x + 3} right)}^2}}}

3. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 1

y = frac{{a{x^2} + bx + c}}{{dx + e}} Rightarrow y' = frac{{ad{x^2} + 2aex + be - cd}}{{{{left( {dx + e} right)}^2}}}

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{x + 2}}

Hướng dẫn giải

y = frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{x + 2}} Rightarrow y' = frac{{3.1{x^2} + 2.3.2x + left( { - 2} right).2 - 1.1}}{{{{left( {x + 2} right)}^2}}} = frac{{3{x^2} + 12x - 5}}{{{{left( {x + 2} right)}^2}}}

4. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2

begin{matrix} y = dfrac{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}}{{{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}}} Rightarrow y' = dfrac{{left| {begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}} \ {{a_2}}&{{b_2}} end{array}} right|{x^2} + 2left| {begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{c_1}} \ {{a_2}}&{{c_2}} end{array}} right|x + left| {begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}&{{c_1}} \ {{b_2}}&{{c_2}} end{array}} right|}}{{{{left( {{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}} right)}^2}}} hfill \ Rightarrow y' = dfrac{{left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} right){x^2} + 2left( {{a_1}{c_2} - {a_2}{c_1}} right)x + {b_1}{c_2} - {b_2}{c_1}}}{{{{left( {{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}} right)}^2}}} hfill \ end{matrix}

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{{x^2} + x + 2}}

Hướng dẫn giải

y = frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{{x^2} + x + 2}} Rightarrow y' = frac{{left| {begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2} \ 1&1 end{array}} right| + 2left| {begin{array}{*{20}{c}} 3&1 \ 1&2 end{array}} right|x + left| {begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1 \ 1&2 end{array}} right|}}{{{{left( {{x^2} + x + 2} right)}^2}}} = frac{{5{x^2} + 10x - 5}}{{{{left( {{x^2} + x + 2} right)}^2}}}

5. Công thức tính nhanh đạo hàm của một số hàm số thường gặp

Hàm số bậc nhất/bậc nhất: f(x)=ax+b/cx+d⇒f′(x)=ad−bc/(cx+d)2.

Hàm số bậc hai/bậc nhất: f(x)=ax2+bx+c/mx+n⇒f(x)=amx2+2anx+bn−cm/(mx+n)2

Hàm số đa thức bậc ba: f(x)=ax3+bx2+cx+d⇒f(x)=3ax2+2bx+c

Hàm số trùng phương: f(x)=ax4+bx2+c⇒f′(x)=4ax3+2bx.

Hàm số chứa căn bậc hai: f(x)=√u(x)⇒f′(x)=u′(x)/2√u(x)

Hàm số chứa trị tuyệt đối: f(x)=|u(x)|⇒f′(x)=u′(x).u(x)/|u(x)|.

III. QUY TẮC TÍNH NHANH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Các hàm số u = u(x), v= v(x), w = w (x) có đạo hàm, khi đó.

(u+v)’x = u’ + v’  ; (u-v)’ = u’ – v’    ; (ku’) = k.u’, k ∈ R.

(uv)’ = u’v + u.v’  ; (u/v)’ = (u’v – uv’)/v²

Đạo hàm các hàm số lượng giác lớp 11.

(sinx)’ = cosx

(cosx)’ = -sinx

(tanx)’ = 1/cos²x = 1 + tan²x ( x ≠π/2 + kπ, k ∈ Z).

(cotx)’ = -1/sin²x = -(1 +cot²x).

(x ≠π , k ∈ Z).

(Sinu)’ = cosu.u’.

(cosu)’ = -sinu.u’.

(tanu’) = u’/cos²u = (1 +tan²u)u’ ( u ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z).

(cotu)’ = -u’/sin²x = – 1 (1 + cot²u)u’  (u ≠ kπ, k ∈ Z).

Trên đây là một số quy tắc tính đạo mà các em cần phải nhớ. Chỉ khi nắm vững được phần kiến thức này các em mới có thể dễ dàng giải được các bài toán xét tính đơn điêu, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác…

IV. BÀI TẬP TÍNH ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 1:

Đạo hàm của hàm số y = 1/ (cos²x – sin²x) là :

A. y’ = 2sin2x/cos²2x                                  B. y’ = 2cos2x/cos²2x

C. y’ = cos2x/cos²2x                                  D. y’ = sin2x/cos²2x .

Hướng dẫn giải:

y = 1/ (cos²x – sin²x) = 1/cos2x.

Áp dụng quy tắc tính đạo hàm với (1/u)’ = -u’/u² ta được”

y’ = -(cos2x)’/ (cos2x)² = sin2x. (2x)’/ cos²2x = 2sin2x.cos²2x.

Bài 2:

Cho hàm y = cotx/2. Hệ thức nào sau đây là đúng?

A. y² + 2y’ = 0                                  B. y² + 2y’ + 1 = 0

C. y² + 2y’ + 2 = 0                           D. y² + 2y’ -1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Ta có y’ = -1/(sin²x/2) = -1/2 ( 1+ cot²x/2).

Do đó y² + 2y’= cot²x/2 – 2.1/2(1 +cot²x/2) = cot²x/2 – (1 +cot²x/2) = -1 nên  y² + 2y’ + 1 = 0. Chọn đáp án B.

Cách 2: Sử dụng máy tính casio.

Bước 1: Thiết lập môi trường SHIFT MODE 4.

Thay x = 1 vào y = cotx/2 ta tính được  y cot 1/2 ≈ 1

Sử dụng phím SHIFT ∫, nhập hàm số y = cotx/2 với x = 1 được kết quả ≈ -1.

Do đó y² + 2y’ + 1 = 0.

Bài 3:

ính đạo hàm cấp n của hàm số y = cos2x là:

A. y(n) = (-1) ncos (2x + n π/2)

B. y(n) = 2 n cos ( 2x +π/2).

C.  y(n) = 2n +1 cos (2x + nπ/2).

D.  y(n) = 2cos (2x + nπ/2).

Hướng dẫn giải:

Ta có y′=2cos(2x+π2),y′′=2²cos(2x+2π2)

y′′′=2³cos(2x+3π2)

Bằng quy nạp ta chứng minh được y(n)=  2ncos(2x+nπ2)

Bài 4:

Cho hàm số y= (x2+2x-1)/(2x-2). Tính đạo hàm của hàm số tại x= – 2

Cách tính đạo hàm tại 1 điểm hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Điều kiện : x≠1

Với mọi x≠1 hàm số có đạo hàm là;

Cách tính đạo hàm tại 1 điểm hay, chi tiết - Toán lớp 11

Bài 5: Cho hàm số y= √(x2+4x+88). Tính đạo hàm của hàm số đã cho tại x= 2.

A. 1        B. 2/5        C. 1/5        D. 4/5

Hướng dẫn giải

Ta có: x2+ 4x+ 88= ( x+ 2)2 + 84 > 0 với mọi x.

⇒ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm

Cách tính đạo hàm tại 1 điểm hay, chi tiết - Toán lớp 11

Bài 6: Cho hàm số y= √(x2-3x+2) + x3– x2. Tính đạo hàm của hàm số đã cho tại x= 3/2?

A. 1        B. 2        C. 4        D.không tồn tại

Hướng dẫn giải

+ Điều kiện : x ≤1;x ≥2

+ Tại các điểm x thỏa mãn x2- 3x+ 2 > 0 thì hàm số có đạo hàm .

+ Điểm x= 3/2 không thỏa mãn điều kiện xác định nên hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.

Chọn D.

Bài 7: Cho hàm số y= ( 2x+ x2)2. Tính đạo hàm của hàm số tại x= – 1?

A. 0        B. 2        C. – 2        D .4

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y’=2( 2x+ x2 )( 2x+ x2 )’ = 2( 2x+ x2 )( 2+2x)

⇒Đạo hàm của hàm số tại x= -1 là y’( – 1) = 0.

Chọn A.

Bài 8: Cho hàm số y=( 1+ √x+x)2. Tính đạo hàm của hàm số tại x= 1?

A. 6        B. 8        C. 9        D. 10

Hướng dẫn giải

+ Với x > 0 thì hàm số đã cho có đạo hàm và

y’=2( 1+√x+x).( 1+ √x+x)’

Cách tính đạo hàm tại 1 điểm hay, chi tiết - Toán lớp 11

Vậy là các bạn vừa được tìm hiểu công thức tính nhanh đạo hàm của các hàm số thường gặp. Hi vọng, chia sẻ cùng bài viết bạn có thêm nguồn tư liệu quý phục vụ quá trình dạy và học được tốt hơn. Xem đầy đủ bảng công thức đạo hàm tại đường linh này nhé !

Đăng bởi: ukunifair

Chuyên mục: Tin tức

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button