Tin tức

Cực trị của hàm số là gì? Công thức tính cực trị hàm số bậc ba cực nhanh

Cực trị của hàm số là gì? Công thức tính cực trị hàm số bậc ba cực nhanh

Cực trị hàm số bậc 3 là một dạng toán cơ bản nhưng quan trọng trong chương trình toán 12 xuất hiện nhiều trong các đề thi quan trong. Bài viết hôm nay, Ukunifair sẽ giới thiệu đến các bạn chuyên đề về cực trị hàm số bậc 3 và công thức tính cực trị hàm số bậc ba cực nhanh. Bạn tìm hiểu nhé !

I. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BA LÀ GÌ ?

Bạn đang xem: Cực trị của hàm số là gì? Công thức tính cực trị hàm số bậc ba cực nhanh

II. CÔNG THỨC TÍNH CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BA CỰC HAY

Bước 1:
Tính đạo hàm của hàm số y’ = 3ax2+ 2bx + c,
Cho y’ = 0 ⇔ 3ax2 +2bx + c = 0 (1)
Để hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu ⇔ y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt ⇔ (1) phải có hai nghiệm phân biệt
Ta có a ≠ 0 và ∆ (∆’) ≠ 0 ⇔ Giá trị tham số cần tìm thuộc 1 miền D nào đó (*)

Bước 2:
Từ điều kiện bài toán cho trước ta có 1 phương trình hoặc 1 bất phương trình theo tham số cần tìm
Giải phương trình này ta sẽ tìm được tham số rồi sau đó đối chiếu với điều kiện (*) của tham số và kết luận.
Một số điều kiện của bài toán thường gặp:
– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị <=> a ≠ 0 và ∆ ý(∆’) > 0
– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị nằm về hai phía đối nhau của trục hoành <=> yCD.y CT < 0
– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị nằm về hai phía đối nhau của trục tung <=> xCD.x CT< 0
– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị cùng nằm phía trên của trục hoành <=>
Phương pháp tìm cực trị của hàm số bậc 3 
– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị cùng nằm phía dưới của trục hoành <=>
Phương pháp tìm cực trị của hàm số bậc 3 


– Để hàm số y = f(x) đã cho có cực trị nằm tiếp xúc với trục hoành <=> y CD.yCT= 0
– Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khác nằm phía đối với đường thẳng d có dạng: Ax + By + C = 0
Gọi M1  (x1 ; y1) và M2 (x2; y2) là điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số y = f(x)
Ta có t1 và t2 là giá trị của các điểm cực trị M1, M 2 khi ta thay vào đường thẳng d.
t1 = Ax1+ By1 + C
t2 = Ax2+ By2 + C
Nếu đồ thì có 2 điểm cực trị nằm 2 phía đường thẳng d thì ta có phương trình
Phương pháp tìm cực trị của hàm số bậc 3 
có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
Nếu đồ thì có 2 điểm cực trị nằm cùng 1 phía đường thẳng d thì ta có phương trình
Phương pháp tìm cực trị của hàm số bậc 3 
có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
Chú ý: Khi ta thay đường thẳng d bằng trục của Ox hoặc Oy hay 1 đường tròn thì ta vẫn áp dụng được kết quả trên . Các kết quả khác của nó thì tùy theo từng điều kiện để có thể áp dụng.

III. CÁC DẠNG BÀI TẬP CỦA CỰC TRỊ HÀM SỐ BẬC BA

Dạng 1: Tìm m để hàm số x0

‘>x0

Phương pháp: ta sử dụng điều kiện sau: 

  • Nếu left{ begin{array}{l}f'({x_0}) = 0\f thì hàm số đạt cực tiểu tại {x_0} .
  • Nếu left{ begin{array}{l}f'({x_0}) = 0\f thì hàm số đạt cực đại tại {x_0} .

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = {textstyle{1 over 3}}{x^3} + left( {{m^2} - m + 2} right){x^2} + left( {3{m^2} + 1} right)x + m - 5  đạt cực tiểu tại x = -2.

Giải

y'left( x right) = {x^2} + 2left( {{m^2} - m + 2} right)x + 3{m^2} + 1 Rightarrow y''left( x right) = 2x + 2left( {{m^2} - m + 2} right)

Để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 thì điều kiện cần là y'left( { - 2} right) = 0 :

 Leftrightarrow - {m^2} + 4m - 3 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m = 1\m = 3end{array} right.

Với m = 3 thì yleft( { - 2} right) = 8 data-recalc-dims= 0″ /> nên hàm số đạt cực tiểu tại x = - 2 . Vậy m = 3  thỏa yêu cầu

Với m = 1 thì y = frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + 4x - 4 . Sử dụng bảng biến thiên ta thấy hàm số không có cực trị nên m = 1 không thỏa yêu cầu.

Vậy với m = 3 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = -2.

Lưu ý: Với m = 1 thì yleft( { - 2} right) = 0  nên ta không thể kết luận mà phải sử dụng đến bảng biến thiên.

Dạng 2: Tìm m để hàm số y = f(x) có cực trị hoặc không có cực trị.

Đối với dạng toán này, ta thường chú ý đến 2 dạng hàm số chính:

1. Hàm số bậc 3: y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,left( {a ne 0} right)

  • Hàm số không có cực trị  Leftrightarrow  phương trình y' = 0  vô nghiệm hoặc nghiệm kép  Leftrightarrow  Deltale 0 .
  • Hàm số có hai cực trị  Leftrightarrow  phương trình y' = 0  có hai nghiệm phân biệt  Leftrightarrow  Delta data-recalc-dims= 

2. Hàm số bậc 4 trùng phương: y = a{x^4} + b{x^2} + c,left( {a ne 0} right)

  • Hàm số có 1 cực trị  Leftrightarrow  phương trình y' = 0 có một nghiệm duy nhất  Leftrightarrow   a.b>0.
  • Hàm số có 3 cực trị  Leftrightarrow  phương trình y' = 0 có ba nghiệm  Leftrightarrow   a.b<0.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = {x^3} - 3(m + 1){x^2} + 9x - m , với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đã cho có hai cực trị.

Giải

Ta có: y' = 3{x^2} - 6(m + 1)x + 9.

Để hàm số có hai cực trị thì phương trình y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt.

 Leftrightarrow {x^2} - 2(m + 1)x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

 Leftrightarrow Delta ' = {(m + 1)^2} - 3 data-recalc-dims=

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) = m{x^3} + 3m{x^2} - left( {m - 1} right)x - 1 , m là tham số. Xác định các giá trị của m để hàm số không có cực trị.

Giải

Với m = 0 Rightarrow y = x - 1 Rightarrow nên hàm số không có cực trị.

Với m ne 0 Rightarrow y' = 3m{x^2} + 6mx - left( {m - 1} right)

Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

Leftrightarrow Delta ' = 9{m^2} + 3mleft( {m - 1} right) = 12{m^2} - 3m le 0 Leftrightarrow 0 le m le frac{1}{4}

Vậy với 0 le m le frac{1}{4} thì hàm số không có cực trị.

Dạng 3: Tìm tham số m để hàm số có cực trị thỏa mãn yêu cầu.

Đây là dạng bài tập nâng cao ta thường gặp trong các đề thi đại học, cao đẳng. Để làm được dạng toán này, trước tiên ta cần nắm được phương pháp giải các dạng toán đã nêu bên trên, đồng thời phải kết hợp với một số kiến thức khác về hình học, dãy số…

Ví dụ 4: Cho hàm số y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + 1,,left( {{C_m}} right) . Tìm m dể hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

Giải

Trước tiên ta áp dụng phương pháp ở dạng 2 tìm m để hàm số có 3 cực trị.

Ta có: y' = 4{x^3} - 4{m^2}x = 4xleft( {{x^2} - {m^2}} right)

y' = 0 Leftrightarrow 4xleft( {{x^2} - {m^2}} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0\{x^2} = {m^2} (*)end{array} right.

Để hàm số có 3 cực trị thì phương trình y’ = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt.

 Leftrightarrow  Phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác o  Leftrightarrow  m ne 0

Vậy với m ne 0 thì hàm số có 3 cực trị.

Bây giờ ta sẽ tìm m để 3 cực trị này tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.

Ta có: với m ne 0 thì y' = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0 Rightarrow y = 1\x = m Rightarrow y = 1 - {m^4}\x = - m Rightarrow y = 1 - {m^4}end{array} right.

Gọi 3 điểm cực trị lần lượt là: Aleft( {0;1} right);Bleft( { - m;1 - {m^4}} right);Cleft( {m;1 - {m^4}} right)

Theo tính chất của hàm số bậc 4 trùng phương thì tam giác ABC cân tại A nên để ABC vuông cân thì AB vuông góc với AC

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button