Tin tức

Công thức tính thể tích khối chóp – từ cơ bản đến nâng cao & các dạng toán

Công thức tính thể tích khối chóp – từ cơ bản đến nâng cao & các dạng toán

Ở lớp 11 học sinh đã được tìm hiểu về khối chóp, lên lớp 12 học sinh sinh lại được tìm hiểu sâu hơn về cách tính thể tích khối chóp: công thức tính thể tích khối chóp cụt, công thức tính thể tích khối chóp đều…Bài viết hôm nay, Ukunifair sẽ hệ thống lại tất cả các công thức tính thể tích khối chóp – từ cơ bản đến nâng cao & các dạng toán để các bạn tiện theo dõi.

I. LÝ THUYẾT VỀ HÌNH CHÓP, KHỐI CHÓP

1. Hình chóp là gì?

Bạn đang xem: Công thức tính thể tích khối chóp – từ cơ bản đến nâng cao & các dạng toán

– Hình chóp là hình có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh. Đỉnh này được gọi là đỉnh của hình chóp.

– Đường cao của hình chóp là đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy.

– Tên gọi của hình chóp dựa vào đa giác đáy: hình chóp tam giác có đáy là tam giác, hình chóp tứ giác có đáy là tứ giác.

thể tích hình chóp

2. Các khối chóp đặc biệt

Hình chóp tứ diện đều

– Hình chóp tứ diện đều là hình chóp có tất cả các cạnh bằng nhau, tất cả các mặt đều là các tam giác đều. Trong đó, O là trọng tâm của tam giác đáy và AO vuông góc với (BCD).

Hình chóp tứ giác đều

– Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau, đa giác đáy là hình vuông tâm O, SO vuông góc với mặt đáy (ABCD).

II. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP ĐẦY ĐỦ, CHÍNH XÁC

cong thuc tinh the tich khoi chop

=> Thể tích của hình chóp là bằng một phần ba diện tích mặt đáy nhân với chiều cao .

cong-thuc-tinh-the-thich-hinh-chop-deu

=> Thể tích khối chóp V=1/3.S.h  với S là diện tích đáy, h là chiều cao. Phương pháp chung để tính thể tích khối chóp là tính diện tích đáy, tính chiều cao và tính thể tích theo công thức V=1/3.S.h  các bạn có thể ứng dụng nó.

1. Cách tính thể tích hình chóp cụt

cong thuc tinh the tich hinh chop cutthe tich hinh chop cut

Trong đó:

  • V : Thể tích hình chóp cụt
  • h : chiều cao của hình chóp cụt ( tức là khoảng cách giữa 2 mặt phẳng chứa 2 đáy)
  • B1B2 : là diện tích của hai đáy hình chóp cụt
  • Đơn vị đo thể tích hình chóp là : m3

III. CÁC DẠNG TOÁN VỀ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

Dạng 1: Tính tỉ lệ thể tích các khối chóp.

Phương pháp:

  • Bước 1: Chia các khối chóp cần tính tỉ lệ thể tích thành các khối chóp tam giác tương ứng với nhau.
  • Bước 2: Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích các khối chópbai-tap-the-tich-khoi-chop-7

Dạng 2: Tính thể tích hình chóp đều

bai-tap-the-tich-khoi-chop

Ví dụ 1: Tính thể tích hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a.

Lời giải:

bai-tap-the-tich-khoi-chop-2

Dạng 3: Tính thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

the-tich-hinh-chop-5

Lưu ý:

Một hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó chính là đường cao.

Một hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì cạnh bên là giao tuyến của hai mặt đó vuông góc với đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân ở B, AC=a√2, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = a. Tính thể tích hình chóp SABC

Lời giải:

ABC là tam giác vuông cân ở B, AC=a√2 nên

the-tich-hinh-chop-6

SA vuông góc với mặt phẳng ABC nên SA là đường cao

the-tich-hinh-chop-7

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 30º.Tính theo a thể tích hình chóp S.ABC

Lời giải:

Do SA ⊥ (ABC) nên AB là hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng (ABC).

⇒ Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là góc SBA = 300

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

the-tich-hinh-chop-8

∆ABC đều cạnh a nên

the-tich-hinh-chop-9

Dạng 4: Tính thể tích hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy

bai-tap-the-tich-khoi-chop-3

Ví dụ 1: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAD) vuông góc với đáy. Biết tam giác SAD vuông cân tại S. Tính thể của tích hình chóp A.ABCD.

bai-tap-the-tich-khoi-chop-4

Lời giải:

Gọi H là trung điểm AD.

Vì tam giác SAD cân tại S nên SH⊥AD.

Vì mặt phẳng (SAD) vuông góc với đáy nên SH⊥(ABCD).

Vì tam giác SAD vuông cân tại S nên:

bai-tap-the-tich-khoi-chop-5

Vậy thể tích của hình chóp cần tìm là:

bai-tap-the-tich-khoi-chop-6

IV. BÀI TẬP VỀ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

Bài 1: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết S A vuông góc với (ABCD) và S A=a sqrt{3}. Thể tích của khối chóp S . ABCD là:

A. frac{a^{3}}{4}.

B. a^{3} sqrt{3}.

C. frac{a^{3} sqrt{3}}{6}.

D. frac{a^{3} sqrt{3}}{3}.

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác  SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=2 a. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng

A. frac{4 a^{3}}{3}.

B. 2 a^{3}.

C. frac{a^{3}}{3}.

D. frac{2 a^{3}}{3}

Bài 3: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật A B=a, B C=2 a, cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A=a sqrt{2}. Tính thể tích khối chóp S . ABCD.

A. frac{2 a^{3} sqrt{3}}{3}.

B. a^{3} sqrt{2}.

C. 2 a^{3} sqrt{2}.

D. frac{2 a^{3} sqrt{2}}{3}.

Bài 4: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên S A vuông góc với đáy và có độ dài bằng 2 a. Thể tích khối tứ diện S .BCD là:

A. frac{a^{3}}{4}.

B. frac{a^{3}}{8}.

C. frac{a^{3}}{6}.

D. frac{a^{3}}{3}.

Bài 5: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2 a. Biết S A vuông góc với mặt phẳng đáy và S A=a sqrt{2}. Tính thể tích khối chóp S . A B O.

A. frac{a^{3} sqrt{2}}{3}.

B. frac{2 a^{3} sqrt{2}}{12}.

C. frac{a^{3} sqrt{2}}{12}.

D. frac{4 a^{3} sqrt{2}}{3}.

Bài 6: Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AD = 2a, AB = a. Gọi H là trung điểm AD, biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết SA=a√5

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 7: Cho khối chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = 3a, AC = 6a. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn AB sao cho AH = 2HB. Biết SC hợp với (ABC) một góc bằng 60º . Tính thể tích khối chóp S.ABC

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Tam giác ABC vuông tại B, AB = 3a, AC = 6a

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

AH = 2HB; AB = 3a ⇒ HB = a

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Có: SH⊥(ABCD) nên góc giữa SC và (ABC) là góc giữa SC và HC

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC=a√3, H là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt đáy, đường thẳng SD tạo với đáy một góc 60º . Tính thể tích của khối chóp theo a

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

HD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD). Do đó góc giữa đường thẳng SD và đáy là góc giữa HD và SD

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB=2a√3 và ∠(SBC)=30º. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Kẻ SH vuông góc với BC

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Xét tam giác SHB vuông tại H có:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Gọi H là trung điểm của AB

∆SAB đều nên SH ⊥ AB

(SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD)

Vậy H là chân đường cao của khối chóp.

Ta có: ∆SAB đều cạnh a nên SH = a√3/2

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 11: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D. (ABC) ⊥ (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60º, AD = a. Tính thể tích của tứ diện ABCD

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Gọi H là trung điểm của BC. Ta có tam giác ABC đều nên AH ⊥ BC

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Ta có: HD là hình chiếu vuông góc của DA lên mặt phẳng (BCD)

Do đó, góc giữa HD và mặt phẳng (BCD) là góc giữa AD và DH

⇒ ∠(ADH) =60º

Xét tam giác AHD vuông tại H có:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

BCD là tam giác vuông cân tại D có DH là trung tuyến nên

BC=2DH=a

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Trên đây, Ukunifair đã giới thiệu đến quý thầy cô và các bạn học sinh công thức tính thể tích khối chóp – từ cơ bản đến nâng cao & các dạng toán thường gặp. Hi vọng, bài viết đã giúp bạn nắm chắc hơn phần kiến thức Hình học vô cùng quan trọng này. Xem thêm công thức tính thể tích vật thể tròn xoay và các dạng toán nữa bạn nhé !

Đăng bởi: ukunifair

Chuyên mục: Tin tức

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button