Tin tức

Công thức tính thể tích hình nón, diện tích hình nón đầy đủ & bài tập

Công thức tính thể tích hình nón, diện tích hình nón đầy đủ & bài tập

Lý thuyết về hình nón cũng như công thức tính thể tích hình nón, diện tích hình nón học sinh đã được tìm hiểu trong chương trình Toán 12, phân môn Hình học. Bài viết hôm nay, Ukunifair sẽ hệ thống lại các kiến thức cần ghi nhớ về chuyên đề này cùng nhiều dạng bài tập thường gặp. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THYẾT VỀ HÌNH NÓN

1. Hình nón là gì?

Bạn đang xem: Công thức tính thể tích hình nón, diện tích hình nón đầy đủ & bài tập

Hình nón là hình hình học không gian 3 chiều đặc biệt có bề mặt phẳng và bề mặt  cong hướng về phía trên. Đầu nhọn của hình nón được gọi là đỉnh, trong khi bề mặt phẳng được gọi là đáy. Những vật dụng như chiếc nón lá, cây kem, chiếc mũ sinh nhật có dạng hình nón trong thực tế.

2. Các thuộc tính của hình nón

  • Có một đỉnh hình tam giác.
  • Một mặt tròn gọi là đáy hình nón.
  • Đặc biệt nó không có bất kỳ cạnh nào.
  • Chiều cao (h) – Chiều cao là khoảng cách từ tâm của vòng tròn đến đỉnh của hình nón. Hình tạo bởi đường cao và bán kính trong hình nón là một tam giác vuông.

3Các loại hình nón 

Hiện nay, hình nón có 2 loại và tuỳ thuộc vào vị trí đỉnh nằm nghiêng hay thẳng. 

  • Hình nón xiên: Đây là loại hình nón có đỉnh ở vị trí bất kỳ và không vuông góc với mặt đáy.
  • Hình nón tròn: Là loại có đỉnh vuông góc với mặt đáy và có đường vuông góc rơi chính xác vào tâm của mặt đáy tròn của hình nón.

II. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH HÌNH NÓN

Thể tích hình nón bằng 1/3 diện tích đáy nhân với chiều cao của hình nón (khoảng cách từ tâm đến đỉnh)

Trong đó: 

  • V: thể tích
  • Sđáy : Diện tích đáy
  • π : hằng số pi (được làm tròn là 3,14)
  • r: bán kính mặt đáy
  • h: chiều cao hình nón (khoảng cách từ tâm đáy tới đỉnh)

III. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH NÓN

1. Công thức tính diện tích xung quanh hình nón

Diện tích xung quanh hình nón được xác định bằng tích của hằng số Pi (π) nhân với bán kính đáy hình nón (r) nhân với đường sinh hình nón (l). Đường sinh có thể là một đường thẳng hoặc 1 đường cong phẳng. Với hình nón thì đường sinh có chiều dài từ mép của vòng tròn đến đỉnh của hình nón.

dpi{150} fn_phv large S_{xq} = pi .r.l

Trong đó:

  • Sxq: là ký hiệu diện tích xung quanh hình nón.
  • π: là hằng số Pi có giá trị xấp xỉ là 3,14 
  • r: Bán kính mặt đáy hình nón và bằng đường kính chia 2 (r = d/2).
  • l: đường sinh của hình nón.

2. Công thức tính diện tích toàn phần hình nón

Diện tích toàn phần hình nón bằng diện tích xung quanh hình nón cộng với diện tích mặt đáy hình nón. Vì diện tích mặt đáy là hình tròn nên áp dụng công thức tính diện tích hình tròn là Sđ = π.r.r.

dpi{150} fn_phv large S_{tp} = S_{xq} + S_{d} = pi .r.l + pi .r^{2}

Trong đó:

  • Stp: Diện tích toàn phần của hình nón
  • Sđ: Diện tích mặt đáy và là hình tròn nên được tính theo công thức Sđ = π.r²
  • Sxq: Diện tích xung quanh.

IV. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH VÀ DIỆN TÍCH HÌNH NÓN CỤT

Hình nón cụt là loại hình nón bị cắt mất phần chóp. Công thức tính thể tích, diện tích hình nón cụt như sau:

1. Công thức tính thể tích hình nón cụt: bằng hiệu thẻ tích của hình nón lớn và hình nón nhỏ. 

V = 1/3.π.(r²1+r²2+r1.r2).h

Trong đó:

  • V: Thể tích của hình nón cụt
  • h: chiều cao và là khoảng cách giữa 2 đáy của hình nón.
  • r1, r2: Bán kính của đáy nhỏ và đáy lớn.

2. Công thức tính diện tích xung quanh hình nón cụt: là diện tích mặt xung quanh bao quanh hình nón cụt và không cần tính diện tích 2 đáy.

Sxq = π.(r1+ r2).l

Trong đó:

  • Sxq: là Diện tích xung quanh hình nón cụt
  • r1, r2: Bán kính đáy nhỏ và đáy lớn
  • l: là độ dài đường sinh 

3. Công thức tính diện tích toàn phần nón cụt: chính là diện tích xung quanh cộng với diện tích 2 đáy. công thức tính như sau:

Stp = S2đ + Sxq = π.r²1 + π.r²2 + π.(r1+r2).l

V. BÀI TẬP TÍNH THỂ TÍCH VÀ DIỆN TÍCH HÌNH NÓN

Bài 1: Một hình nón có bán kính 3cm và chiều cao 5cm, tìm diện tích toàn phần của hình nón.

Lời giải

Đề bài đã cho biết bán kính và chiều cao hình nón, tuy nhiên để tính được Stp hình nón ta cần tìm độ dài đường sinh.

Độ dài đường sinh bằng tổng bình phương độ dài đường cao cộng với bình phương bán kính. Hay nói cách khác ta áp dụng định lý pitago để tìm giá trị đường sinh trong hình nón bất kỳ.

dpi{150} fn_phv large l = sqrt{h^{2} + r^{2}} = sqrt{5^{2} + 3^{2}} = sqrt{34} = 5,83,cm

Áp dụng công thức phía trên để tính diện tích toàn phần hình nón:

dpi{120} fn_phv S_{tp} = pi .r^{2} + pi .r.l = pi .r(r+l) = 3,14.3(3+5,83) = 83,17, cm^{2}

Bài 2: Cho biết diện tích toàn phần hình nón là 375². Nếu đường sinh của nó gấp bốn lần bán kính, thì đường kính cơ sở của hình nón là bao nhiêu? Sử dụng Π = 3.

Lời giải

l = 4r và π = 3

<=> 3 × r × 4 r + 3 × r 2 375

<=> 12r 2 + 3r2 = 375

<=> 15r 2 375

=> r = 5

Vậy bán kính mặt đáy hình nón là 5 => đường kính mặt nón là 5.2 = 10 cm.

Bài 3: Tính thể tích của hình nón có bán kính 15cm, chiều cao 12cm

Lời giải:

Thể tích của hình nón là: V = frac{1}{3}pi {.15^2}.12 = 900picm3

Bài 4: Tính diện tích xung quanh của hình nón có chu vi đáy là cm và độ dài 1 đường sinh là 15cm

Lời giải:

Bán kính đáy là: 2pi r = 24pi Leftrightarrow r = 12cm

Diện tích xung quanh của hình nón là: {S_{xq}} = pi rl = pi .24.15 = 360picm2

Bài 5: Người ta rót đầy nước vào một chiếc ly hình nón có thể tích 8cm3. Sau đó người ta rót ra từ ly ra để chiều cao mực nước chỉ còn lại một nửa. Tính thể tích lượng nước còn lại trong ly

Lời giải:

Chiều cao của chiếc ly hình nón là: V = frac{1}{3}pi {r^2}h = 8 Leftrightarrow h = frac{{24}}{{pi {r^2}}}cm

Chiều cao còn lại của chiếc ly hình nón là: V = frac{1}{3}pi {r^2}h = 8 Leftrightarrow h = frac{{24}}{{pi {r^2}}}cm

Thể tich nước còn lại trong ly là: V = frac{1}{3}pi {r^2}h = frac{1}{3}pi {r^2}.frac{{12}}{{pi {r^2}}} = 4cm3

Bài 6: Cho tam giác MNP vuông tại M, MP = 3cm, MN = 4cm. Quay tam giác đó một vòng quanh cạnh MN được một hình nón. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.

Lời giải:

Khi quay tam giác một vòng quanh cạnh MN được hình nón có chiều cao MN = 4cm và bán kính đáy bằng 3cm

Độ dài đường sinh của hình nón là: l = sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5cm

Vậy là các bạn vừa được tìm hiểu chuyên đề về hình nón từ công thức tính thể tích hình nón, diện tích hình nón đầy đủ & các dạng bài tập. Hi vọng, đây sẽ là nguồn tư liệu thiết yế giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm công thức tính thể tích khối chóp nữa bạn nhé !

Đăng bởi: ukunifair

Chuyên mục: Tin tức

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button