Tin tức

Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu & các dạng toán

Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu & các dạng toán

Mặt cầu là gì? Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu ra sao và chúng có những dạng toán thường gặp nào là những nội dung quan trọng Ukunifair sẽ chia sẻ qua bài viết sau đây. Các bạn cùng tìm hiểu để có thêm nguồn tư liệu quý phục vụ qua trình dạy và học nhé !

I. MẶT CẦU  LÀ GÌ ?

1. Định nghĩa

Bạn đang xem: Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu & các dạng toán

    Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R, kí hiệu là: S(O; R). Khi đó S(O; R) = {M|OM = R}

2. Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    Cho mặt cầu S(O; R) và một điểm A bất kì, khi đó:

    – Nếu OA = R ⇔ A ∈ S(O; R). Khi đó OA gọi là bán kính mặt cầu. Nếu OA và OB là hai bán kính sao cho OA→ = –OB→ thì đoạn thẳng AB gọi là một đường kính của mặt cầu.

    – Nếu OA < R ⇔ A nằm trong mặt cầu.

    – Nếu OA > R ⇔ A nằm ngoài mặt cầu.

    ⇒ Khối cầu S(O; R) là tập hợp tất cả các điểm M sao cho OM ≤ R.

3. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

    Cho mặt cầu S(O; R) và một mp(P). Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến mp(P) và H là hình chiếu của O trên mp(P) ⇒ d = OH.

    – Nếu d < R ⇔ mp(P) cắt mặt cầu S(O; R) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mp(P) có tâm là H và bán kính Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (hình a).

    – Nếu d > R ⇔ mp(P) không cắt mặt cầu S(O; R) (hình b).

    – Nếu d = R ⇔ mp(P) có một điểm chung duy nhất. Ta nói mặt cầu S(O; R) tiếp xúc mp(P). Do đó, điều kiện cần và đủ để mp(P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) là s(O, (P)) = R (hình c).

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

    Cho mặt cầu S(O; R) và một đường thẳng Δ. Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng Δ và d = OH là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến đường thẳng Δ. Khi đó:

    – Nếu d > R ⇔ Δ không cắt mặt cầu S(O; R).

    – Nếu d < R ⇔ Δ cắt mặt cầu S(O; R) tại hai điểm phân biệt.

    – Nếu d = R ⇔ Δ và mặt cầu tiếp xúc nhau (tại một điểm duy nhất). Do đó: điều kiện cần và đủ để đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu là d = d(O, Δ) = R.

    Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R) thì:

    – Qua có vô số tiếp tuyến với mặt cầu S(O; R).

    – Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.

    – Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm trên mặt cầu S(O; R).

II. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CẦU

Diện tích mặt cầu bằng bốn lần hằng số Pi nhân với bình phương bán kính của hình cầu.

Công thức tính diện tích mặt cầu hay nhất (ảnh 2)

Trong đó:

  • S: là diện tích mặt cầu
  • π: là hằng số Pi = 3,14
  • R: bán hình hình cầu

III. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CẦU

Thể tích hình cầu hay còn được gọi là thể tích khối cầu ba phần tư của Pi nhân với lập phương bán kính hình cầu.

Công thức tính diện tích mặt cầu hay nhất (ảnh 3)

Trong đó:

  • V: là thể tích hình cầu
  • π: là hằng số Pi = 3,14
  • R: bán hình khối cầu

IV. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ DIỆN TÍCH HÌNH CẦU VÀ THỂ TÍCH KHỐI CẦU

Dạng 1: Tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu và bán kính hình cầu.

Phương pháp:

Công thức tính diện tích mặt cầu hay nhất (ảnh 4)

Dạng 2: Bài toán tổng hợp

Phương pháp:

Vận dụng các công thức trên và các kiến thức đã học để tính các đại lượng chưa biết rồi từ đó tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu.

V. CÁC BÀI TOÁN

Bài 1: Cho khối trụ có bán kính đáy là 3a, chiều cao là a/2. Một khối cầu có thể tích bằng khối trục trên. Tính bán kính khối cầu

A.3a/2        B. 5a/2        C.2a        D.3a

Thể tích của khối trụ là:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Gọi R là bán kính khối cầu

Theo bài ta, khối cầu có thể tích bằng khối trục nên ta có:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Đáp án : A

Bài 2:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B

AB = BC = a√3

Góc SAB=SCB= 90 độ và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a√2

Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.

Hướng dẫn giải:

Gọi D là hình chiếu của S trên (ABC).

H là chân đường cao kẻ từ D của tam giác vuông SDC.

Công thức tính diện tích mặt cầu hay nhất (ảnh 6)

⇒ ABCD là hình vuông.

Xét tam giác vuông SDC (vuông tại D) có :

DC = AB = a√3

DH = d(D,(SBC)) = d(A,(SBC)) = a

⇒ DS = a√6

⇒ SC = 3a

⇒ SB = 2a√3

Gọi O là trung điểm của SB, ta có OA = OB = OC = OS = a√3

.Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là R = a√3

Bài 3 Cho mặt cầu S (I;R) và một điểm A sao cho IA = 2R. Từ A kẻ tiếp tuyến AT đến (S) (T là tiếp điểm). Khi đó độ dài đoạn thẳng AT bằng

A. R/2         B. R        C. R√2        D. R√3

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Xét tam giác ATI có:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Đáp án : D

Bài 4:

Cho một hình cầu có bán kính nối từ tâm O dài 5cm. Hỏi diện tích của mặt cầu này là bao nhiêu?

Công thức tính diện tích mặt cầu hay nhất (ảnh 5)

Hướng dẫn giải:

Bài toán tính diện tích mặt cầu

Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu ở trên ta có bán kính r = 5cm. Suy ra diện tích mặt cầu này sẽ bằng:

S = 4 x π x r2 = 4 x π x 52 = 314 cm2

Đáp án sau khi tính diện tích mặt cầu là 314 cm2

Bài 5: Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R. Đường thẳng D cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B . Biết AB=6, khoảng cách từ I đến đường thẳng D bằng 4. Bán kính mặt cầu (S) là

A. 5        B. 4        C. √5        D. 25

Hướng dẫn giải:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bán kính mặt cầu (S) là:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Đáp án : A
Vậy là chúng tôi đã giới thiệu đến quý bạn đọc lý thuyết về mặt cầu, về công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu & các dạng toán thường gặp. Hi vọng, đây là nguồn tư liệu hữu ích giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm lý thuyết về hình nón cũng như công thức tính thể tích hình nón, diện tích hình nón tại đường link này nữa bạn nhé !

Đăng bởi: ukunifair

Chuyên mục: Tin tức

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button