Tin tức

Cách xác định góc giữa hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng nhanh nhất

Cách xác định góc giữa hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng nhanh nhất

Cách xác định góc giữa hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng là một trong những phần kiến thức trọng tâm của chương trình Toán 11. Nhằm giúp các bạn nắm vững hơn chuyên đề toán quan trọng này, Ukunifair đã chia sẻ bài viết sau đây. Bạn dành thời gian tìm hiểu để có thêm nguồn tư liệu quý phục vụ quá trình học tập nhé !

I. CÁCH XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI VECTƠ, GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẰNG

1. Phương pháp giải

Bạn đang xem: Cách xác định góc giữa hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng nhanh nhất

Để tính góc giữa hai đường thẳng d1; d2 trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách

Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d1, d2 bằng cách chọn một điểm O thích hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).

Từ O dựng các đường thẳng d1, d2 lần lượt song song ( có thể tròng nếu O nằm trên một trong hai đường thẳng) với d1 và d2. Góc giữa hai đường thẳng d1, d2 chính là góc giữa hai đường thẳng d1, d2.

Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác

Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương u1, u2 của hai đường thẳng d1, d2

Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1, d2 xác định bởi cos(d1, d2) = 

Lưu ý 2: Để tính u1u2, |u1|, |u2| ta chọn ba vec tơ a→b→c→ không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ u1u2 qua các vec tơ a→b→c→ rồi thực hiện các tính toán.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và EG→?

A. 90°               B. 60°               C. 45°               D. 120°

Hướng dẫn giải

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Vì EG→ = AC→ ( tứ giác AEGC là hình chữ nhật) nên:

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11 (do ABCD là hình vuông)

Chọn C.

Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa AC và DA’ là:

A. 45°               B. 90°               C. 60°               D. 120°

Hướng dẫn giải

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương

Khi đó, tam giác AB’C đều (AB’ = B’C = CA = a√2) do đó ∠B’CA= 60° .

Lại có, DA’ song song CB’ nên

(AC, DA’) = (AC, CB’) = ∠ACB’= 60°.

Chọn C

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có ba góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc nào sau đây?

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Ta có : AC // A’C’ ( do AA’CC’ là hình bình hành) mà ∠DA’C’ nhọn (do tam giác A’DC’ là tam giác nhọn) nên :

(AC, A’D) = (A’C’, A’D) = ∠DA’C’

Chọn B

Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chọn khẳng định sai?

A. Góc giữa AC và B’D’ bằng 90°

B. Góc giữa B’D’ và AA’ bằng 60°

C. Góc giữa AD và B’C bằng 45°

D. Góc giữa BD và A’C’ bằng 90°.

Hướng dẫn giải

Ta có (AA’, B’D’) = (BB’, B’D’) = ∠BB’C = 90°.

Khẳng định B sai. Chọn B.

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD có BA = CD. Gọi I ; J ; E ; F lần lượt là trung điểm của AC ; BC ; BD ; AD. Góc (IE; JF) bằng

A. 30°               B. 45°               C. 60°               D. 90°

Hướng dẫn giải

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Ta có IF là đường trung bình của tam giác ACD

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Lại có JE là đường trung bình của tam giác BCD

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Từ (1) và (2) suy ra:

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Do đó IJEF là hình thoi

Suy ra (IE; JF) = 90°.

Chọn D

III. BÀI TẬP XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI VECTƠ, GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẰNG

Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:

A. 60°                 B. 30°                 C. 90°                 D. 45°

Lời giải:

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

+ Gọi M là trung điểm của CD

+ Tam giác ACD và tam giác BCD là tam giác đều (vì ABCD là tứ diện đều) có AM; BM là hai đường trung tuyến ứng với cạnh CD nên đồng thời là đường cao.

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Suy ra AB→ ⊥ CD→ nên số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90°.

Chọn C

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ = (a√3)/2 (I; J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là

A. 30°               B. 45°               C. 60°               D. 90°

Lời giải:

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Chọn C

Gọi M; N lần lượt là trung điểm AC; BC.

Ta có:

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Gọi O là giao điểm của MN và IJ.

Ta có: ∠MIN = 2∠MIO .

Xét tam giác MIO vuông tại O, ta có:

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Bài 3 : Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ ?

A. 120°               B. 90°               C. 60°               D.45°

Lời giải:

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Chọn B

+ Xét tam giác ABC có AB = AC và ∠BAC = 60° nên tam giác ABC đều

Tương tự tam giác ABD đều.

⇒ BC = BD (= AB)

+ Xét tam giác ACD và tam giác BCD có :

BC = AC.

AD = BD

CD chung

⇒ Δ BCD = Δ ACD( c.c.c) ⇒ BJ = AJ

⇒ Tam giác AJB là tam giác cân tại J. Lại có, JI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

⇒ IJ ⊥ AB.

⇒ góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ là 90°

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng a. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng SA và SC

A. 30°                 B. 45°                 C. 60°                 D.90°

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Theo giả thiết, ta có: AB = BC = CD = DA = a nên ABCD là hình thoi cạnh a.

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có ΔCBD = ΔSBD (c-c-c) .

Suy ra hai đường trung tuyến tương ứng CO và SO bằng nhau.

Xét tam giác SAC, ta có SO = CO = (1/2)AC .

Do đó tam giác SAC vuông tại S (tam giác có đường trung tuyến bằng nửa cạnh đáy). Vậy SA ⊥ SC

Chọn D.

Bài 5: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos( AB; DM) bằng

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Chọn A

Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBCD ⇒ AH ⊥ (BCD)

Gọi E là trung điểm AC ⇒ ME // AB ⇒ (AB, DM) = (ME, MD)

Ta có:

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của tam giác MED : ME = a, ED = MD = (√3/2)a

Xét tam giác MED, ta có:

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc (MN; SC) bằng

A. 30°                 B. 45°                 C. 60°                 D.90°

Lời giải:

Chọn D

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD    (1)

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Ta có: SA = SB = SC = SD nên S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD     (2)

Từ (1) và (2) ⇒ SO ⊥ (ABCD)

Từ giả thiết ta có: MN // SA (do MN là đường trung bình của tam giác SAD).

⇒ (MN; SC) = (SA; SC).

Xét tam giác SAC, ta có:

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11 ⇒ ΔSAC vuông tại S ⇒ SA ⊥ SC

⇒ (SA, SC) = (MN, SC) = 90°

Bài 7: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos( AB; DM) bằng

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Chọn A

Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBCD ⇒ AH ⊥ (BCD)

Gọi E là trung điểm AC ⇒ ME // AB ⇒ (AB, DM) = (ME, MD)

Ta có:

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của tam giác MED : ME = a, ED = MD = (√3/2)a

Xét tam giác MED, ta có:

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Vậy là các bạn vừa được tìm hiểu cách xác định góc giữa hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng nhanh nhất vqafa nhiều bài tập vận dụng. Hi vọng, đây sẽ là nguồn tư liệu thiết yếu phục vụ quá trình dạy và học được tốt hơn. Xem thêm cách chứng minh hai vectơ vuông góc và bằng nhau tại đường link này nhé !

Đăng bởi: ukunifair

Chuyên mục: Tin tức

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button