Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và các dạng bài tập

Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và các dạng bài tập

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số học sinh đã được tìm hiểu trong chương trình Toán 12. Đây là một trong những phần kiến thức cơ bản có nhiều trong các đề thi quan trọng Bài viết hôm nay, Ukunifair sẽ mách bạn cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và các dạng bài tập thường gặp. Các em cùng tìm hiểu nhé !

I. CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Cách 1: Dùng tọa độ tiếp điểm

Bạn đang xem: Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và các dạng bài tập

Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f’(x₀). (x – x₀) + y₀

1.Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm M(x₀, y₀) thuộc đồ thị hàm số (tức là tiếp tuyến duy nhất nhận M(x₀; y₀) làm tiếp điểm).

Phương trình tiếp tuyến với hàm số (C): y = f(x) tại điểm M(x₀; y₀) ∈ (C)

(hoặc tại h x = x₀ ) có dạng: y =f’(x₀).(x – x₀) + y₀.

2.Lập phương trình tiếp tuyến d với đường cong đi qua điểm A (x_A, y_A) cho trước, kể cả điểm thuộc đồ thị hàm số (tức là mọi tiếp tuyến đi qua A(x_A, y_A)).

Cho hàm số (C): y = f(x). Giả sử tiếp điểm là M(x₀, y₀), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f’(x).(x – x₀) + y₀ (d).

Điểm A(x_A, y_A) ∈ d, ta được: y_A = f’(x₀). (x_A – x₀) + y₀ => x₀

Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến d.

3. Lập phương tiếp tuyến d với đường cong biết hệ số góc k

Cho hàm số (C): y = f(x). Giả sử tiếp điểm là M(x₀;y₀), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: d: y = f’(x₀).(x – x₀) + y₀.

Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến d là nghiệm của phương trình:

f’(x₀) = k => x₀, thay vào hàm số ta được y₀ = f(x₀).

Ta lập được phương trình tiếp tuyến d: y = f’(x₀). (x – x₀) + y₀.

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x₀; y₀) có hệ số góc k có dạng;

d:y = g’(x) = k.(x – x₀) + y₀.

Điều kiện để đường thằng y = g(x) tiếp xúc với đồ thị hàm số y = f(x) là hệ phương trình sau có nghiệm: 

‘>f′(x)=g′(x)
Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến d.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) tại M₀ (x₀; y₀)

Phương pháp giải:

Bước 1. Tính y’ = f’ (x) suy ra hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là k = y’ (x₀).

Bước 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M₀ (x₀; y₀) có dạng

y – y₀ = f'(x₀)(x – x₀)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số (C):y = x³ + 3x². Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 4).

Hướng dẫn

Ta có y’ = 3x² + 6x; y'(1) = 9

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 4) là:

y = 9(x – 1) + 4 = 9x – 5

Ví dụ 2:

Cho hàm số y= x³– 2x+ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M( 0;1 )

A. y= 2x+ 3         B. y= -2x + 1         C.y= 4x+1         D. y= – 4x+1

Hướng dẫn giải

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’= 3x²– 2

⇒ y'(0)= -2

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M( 0;1) là:

y- 1= -2(x-0) hay y= -2x + 1

Chọn B.

Ví dụ 3. Cho hàm số y= x² + 2x – 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 1?

A. y= 2x+1         B. y= – 6x+ 1         C. y= 4x- 7         D. y= 3x-

Hướng dẫn giải

+ Ta có: y(1) = 1²+ 2.1 – 6= -3

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’(x)= 2x+ 2

⇒ y’(1) = 2.1+ 2= 4

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x= 1 là:

y+ 3= 4( x- 1) hay y= 4x- 7

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho hàm số y= x³ + 4x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 2?

A. y= 4x+ 2         B. y = – 2x+ 1         C. y= 3x+ 1         D. y= 6x+ 1

Hướng dẫn giải

+ Xét phương trình: x³+ 4x+ 2= 2

⇔ x³+ 4x = 0 ⇔x= 0

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’ = 3x² + 4

⇒ y’( 0) = 4

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 2:

y- 2= 4( x – 0) hay y= 4x+ 2

Chọn A.

Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) có hệ số góc k cho trước.

Phương pháp

Bước 1. Gọi M₀ (x₀; y₀) là tiếp điểm và tính y’ = f’ (x).

Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến là k = f’ (x₀). . Giải phương trình này tìm được x₀ thay vào hàm số được y₀.

Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng

d: y – y₀ = f’ (x₀)(x – x₀)

Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:

Tiếp tuyến d Δ:y = ax + b ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = a

Tiếp tuyến d Δ:y = ax + b(a ≠ 0)⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = -1/a

Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì hệ số góc của tiếp tuyến d là k = ±tan⁡α

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số (C):y = 4x³ – 6x² + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; -9).

Hướng dẫn

Ta có y’ = 12x² – 12x

Gọi M(x₀, y₀) là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng:

y = (12x₀² – 12x_0> )(x – x₀ ) + 4x₀³ – 6x₀² + 1

Vì tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; -9) nên ta có:

-9 = (12x₀² – 12x₀ )( -1 – x₀ ) + 4x₀³ – 6x₀³ + 1

Với  .

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 15/4 (x – 5/4) – 9/16 = 15/4 x – 21/4

Với x₀ = -1 thì 

.

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 24(x + 1) – 9 = 24x + 15

Ví dụ 2. Cho hàm số y= – x³ + 2x²+ 2x+1 có đồ thị (C). Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) với trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A?

A. y= – 2x+ 1         B. y= 3x- 2         C. y= 4x+ 1         D. y= 2x+ 1

Hướng dẫn giải

+ Do A là giao điểm của đồ thị (C) với trục tung nên tọa độ điểm A( 0; 1) .

+ Đạo hàm y’= – 3x²+ 4x + 2

⇒ y’( 0) = 2

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A là:

y- 1= 2( x- 0) hay y= 2x+ 1

chọn D.

Ví dụ 3. Cho hàm số y= x²– 3x+ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành ?

A. y= -x+ 1 và y= x – 2         B. y= x+ 1 và y= – x+ 3

C. y= – 2x + 1 và y= x- 2         D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là nghiệm phương trình :

x²– 3x+2 = 0

Vậy đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại hai điểm là A( 1; 0) và B( 2; 0).

+ Đạo hàm của hàm số đã cho: y’= 2x- 3

+ Tại điểm A( 1; 0) ta có: y’( 1)= – 1

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A là:

y- 0= -1( x-1) hay y= – x+ 1

+ tại điểm B( 2; 0) ta có y’( 2)= 1

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại B là :

y- 0= 1( x- 2) hay y= x- 2

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là: y= -x+ 1 và y= x- 2

Chọn A.

Ví dụ 4. Cho hai đường thẳng d1: 2x+ y- 3= 0 và d2: x+ y – 2= 0. Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng đã cho. Cho hàm số y= x2+ 4x+ 1 có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A.

A. y= 3x- 5         B.y= 6x+ 1         C. y= 6x – 5         D. y= 2x+ 1

Hướng dẫn giải

+ Giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 là nghiệm hệ phương trình:

Vậy hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại A( 1; 1).

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’= 2x+ 4

⇒ y’( 1) = 6.

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C) tại điểm A( 1; 1) là:

y-1= 6( x- 1) hay y= 6x- 5

Chọn C.

Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x_A; y_A)

Phương pháp

Cách 1.

Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A(x_A; y_A) hệ số góc k có dạng

d:y = k(x – x_A ) + y_A (*)

Bước 2: là tiếp tuyến của khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

Bước 3: Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình (*), ta được tiếp tuyến cần tìm.

Cách 2.

Bước 1. Gọi M(x₀; f(x₀ )) là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến

k = y'(x₀ ) = f’ (x₀) theo x₀

Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d = y'(x₀ )(x – x₀ ) + y₀ (**). Do điểm A(x_A; y_A) ∈ d nên y_A = y'(x₀ )(x_A – x₀ ) + y₀ giải phương trình này ta tìm được x₀ .

Bước 3. Thế x₀ vào (**) ta được tiếp tuyến cần tìm.

Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1: Cho hàm số (C):. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình Δ:3x – y + 2 = 0

Hướng dẫn

ĐKXĐ: x ≠ -2. Ta có y’ = 3/(x + 2)² .

Phương trình Δ:3x – y + 2 = 0 hay Δ:y = 3x + 2

Gọi tọa độ tiếp điểm là M(x₀, y₀)

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình Δ:3x – y + 2 = 0 nên ta có

Với x₀ = -1 

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x + 1) – 1 = 3x + 2 (loại).

Với x₀ = -3 

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x + 3) + 5 = 3x + 14 (thỏa mãn)

Ví dụ 2. Cho hàm số y =x⁴+ 2x²+ 1 có đồ thị ( C). Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ nguyên dương nhỏ nhất. Đường thẳng d song song với đường thẳng nào?

A. y= – 6x         B. y= 8x         C. y= – 10x         D. y= 12x

Hướng dẫn giải

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’= 4x³+ 4x

+ Số nguyên dương nhỏ nhất là 1. Ta viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi (C) tại điểm có hoành độ là 1.

+ ta có; y’(1)= 8 và y(1)=4

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C) tại điểm có hoành độ là 1 là:

y- 4= 8( x- 1) hay y= 8x- 4

⇒ Đường thẳng d song song với đường thẳng y= 8x

Chọn B.

Ví dụ 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=( x- 1)²( x- 2) tại điểm có hoành độ x= 2 là

A. y= – 2x- 1         B. y= x+ 1         C. y= 3x+ 1         D. y= x- 2

Hướng dẫn giải

+Gọi M(x₀ ; y₀) là tọa độ tiếp điểm.

Từ x₀=2 ⇒ y₀= 0

+ Ta có : y= (x-1)²( x-2)= ( x²-2x+ 1) ( x- 2)

Hay y= x³– 4x²+ 5x- 2

⇒ Đạo hàm của hàm số đã cho là : y’= 3x²– 8x + 5

⇒ y’(2)= 1

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

y- 0= 1( x- 2) hay y= x- 2

chọn D.

Ví dụ 4. Cho hàm số y= (x-2)/(2x+1). Phương trình tiếp tuyến tại A( -1; 3) là

A. y= 5x+ 8         B. y= – 2x+3         C. y= 3x+ 7         D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là;

Ví dụ 5: Cho hàm số y=1/3 x³+x²-2 có đồ thị hàm sô (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y”=0 là

Hướng dẫn giải

Ta có y’=x² +2x và y”=2x+2

Theo giả thiết x₀ là nghiệm của phương trình

⇔2x+2=0⇔x₀=-1

Và y’(-1)=-1

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A(-1;-4/3)là: y= -1.(x+1)- 4/3

Hay y=-x-7/3

Chọn A.

Vậy là các bạn vừa được tìm hiểu cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và các dạng bài tập thường gặp. Hi vọng đây là nguồn tư liệu hữu ích giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm chuyên đề phương trình mặt cầu tại đường link này nữa bạn nhé !

Đăng bởi: ukunifair

Chuyên mục: Tin tức