Tin tức

Cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian và các dạng toán

Cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian và các dạng toán

Lý thuyết về phương trình mặt phẳng cũng như cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian học sinh đã được tìm hiểu trong chương trình Toán 12, phân môn Hình học. Đây là một trong những phần kiến thức vô cùng quan trọng, có nhiều trong các loại đề thi. Để giúp các bạn nắm vững hơn phần nội dung này, Ukunifair đã chia sẻ bài viết sau đây.

I. LÝ THUYẾT VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Định nghĩa phương trình mặt phẳng trong không gian

Bạn đang xem: Cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian và các dạng toán

Phương trình mặt phẳng tổng quátAx+By+Cz+D=0(A2 + B2 + C2.

Để viết được một phương trình mặt phẳng như trên, ta cần phải có 2 yếu tố:

  • Điểm bất kì thuộc mặt phẳng
  • Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng đó

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(x0,y0,z0)và có vec tơ pháp tuyến n=(A;B;C)A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

2. Ví dụ: Phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm O(0;0;0) và có vec tơ pháp tuyến là n=(1;1;1) thì sẽ có phương trình là: x+y+z=0

II. CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Với mỗi dạng đề viết phương trình mặt phẳng thì sẽ cho mỗi dữ kiện khác nhau nhưng tất cả đều sẽ quy về tìm 1 điểm và 1 vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. Thường sẽ rơi vào những dạng sau:

1 Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng

Giả sử mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. Khi đó ta sẽ tìm vec tơ pháp tuyến bằng cách lấy tích có hướng 2 vec tơ chỉ phương của , ta dễ dàng tìm được 2 vec tơ chỉ phương này từ 3 điểm đã cho (có thể chọn 2 trong 3 vec tơ AB, AC, BC.

Khi đó, ta đã có thể viết phương trình mặt phẳng  với:

  • Điểm A (hoặc B,C)
  • VTPT np=AB, AC (hoặc [AB, BC], )

Ví dụ:

Viết phương trình mặt phẳng  đi qua 3 điểm M(1;1;3),N(-1;2;3),P(-1;1;2), biết 3 điểm này không thẳng hàng.
Ta có: MN=(-2;1;0), MP=(-2;0;-1) .
Vậy phương trình mặt phẳng có Vecto pháp tuyến n =(-1;-2;2) và đi qua điểm M(1;1;3)
 Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 đường thẳng và 1 điểm

Giả sử mặt phẳng  chứa đường thẳng d và đi qua điểm A. Trong trường hợp này, ta sẽ lấy một điểm B bất kì thuộc d. Khi đó ta sẽ có vec tơ pháp tuyến là n với:

  • Điểm A
  • VTPT .

Ví dụ:

Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(3;1;0) và đường thẳng  .
Lấy điểm Suy ra và VTCP n
Vậy, (P) đi qua điểm A(3;1;0) và có VTPT .
 ⇔−x+2y–4z+1=0
3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 2 đường thẳng không song song

Giả sử mặt phẳng (P) đi qua 2 đường thẳng , khi đó ta lấy một điểm bất kì thuộc hoặc , còn VTPT sẽ là tích có hướng của 2 VTCP .

Khi đó, ta có thể viết phương trình mặt phằng (P) với :

  • Điểm hoặc
  • VTPT: .

III. CÁC DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M (xo; yo; zo) và song song với một mặt phẳng (P): Ax+ By + Cz + D= 0.

1. Phương pháp giải

Cách 1:

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: n(A;B;C)

Do mặt phẳng (α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là n→(A;B;C)

Phương trình mặt phẳng (α):

A(x- xo) + B. (y – yo) + C( z- zo) = 0

Cách 2:

Mặt phẳng (α ) // (P) nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng:

Ax+ By + Cz + D’= 0 (*) với D’ ≠ D

Vì mặt phẳng (α) đi qua điểm M (xo; yo; zo) nên thay tọa độ điểm M vào (*) tìm đươc D’

2. Ví dụ minh họa

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (-1; 2; 0) và song song với mặt phẳng (Q): x + 2y – 3z + 10 = 0.

A. x + 2y – 3z – 3= 0    B. x – 2y+ 3z + 5 = 0

C. x+ 2y – 3z +3 = 0    D. – x+ 2y + 10 = 0

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→(1;2-3) .

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M ( -1; 2; 0) và có vecto pháp tuyến n→(1;2-3) nên có phương trình:

1( x+1) + 2(y- 2) – 3( z- 0) = 0 hay x+ 2y – 3z – 3 = 0

Chọn A.

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và nhận vecto n→ làm vecto pháp tuyến

1. Phương pháp giải

+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(xo; yo; zo) và có vecto pháp tuyến n→(A;B;C) ≠ 0 :

A.(x- xo) + B( y- yo)+C( z- zo) =0

2. Ví dụ minh họa

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(0; 1; -1) và có vecto pháp tuyến n(2;3;4)

A. y – z + 1 = 0    B. 2x + y – z- 3= 0

C. 2x + 3y + 4z +1= 0    D. 2x- 3y – 4z – 1 = 0

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A (0;1; -1) và có vecto pháp tuyến n→(2;3;4) có phương trình là:

2( x- 0) + 3( y – 1) + 4( z + 1) = 0

Hay 2x + 3y + 4z + 1 = 0

Chọn C.

Dạng 3. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

1. Phương pháp giải

+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (xo; yo; zo) và có vecto pháp tuyến n→(A:B:C) là:

A(x – xo) + B( y – yo) + C(z- zo ) = 0

+ Cho trước hai điểm A và B. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB :

• Gọi I là trung điểm của AB. Suy ra tọa độ điểm I ( áp dụng công thức trung điểm của đoạn thẳng).

• Mặt phẳng trung trực của AB đi qua điểm I và nhận AB→ làm vecto pháp tuyến

=> Phương trình mặt phẳng trung trực của AB.

2. Ví dụ minh họa

Cho hai điểm A( 2; 1; 0) và B(-4 ; -3; 2) . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB?

A. 3x + 2y – z+ 6= 0    B. 6x- 4y + 4z+ 3= 0

C. 3x – 2y – 2z+ 4= 0    D. 6x + 4y + 4z+ 1= 0

Hướng dẫn giải:

+ Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của AB.

=> Mặt phẳng ( P) nhận AB→ (- 6; -4; 2) làm vecto pháp tuyến. Chọn n→ ( 3; 2; -1)

+ Gọi I là trung điểm của AB; tọa độ điểm I là:

21 dạng Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải

=> I( -1; – 1; 1)

+ Mặt phẳng ( P) qua I (- 1; -1; 1) và vecto pháp tuyến có phương trình là:

3( x+ 1)+ 2( y+ 1) – 1( z – 1) = 0 hay 3x + 2y – z + 6 = 0

Chọn A.

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và nhận hai vecto u, v làm vecto chỉ phương

1. Phương pháp giải

* Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.

1. Tìm tọa độ các vecto AB→AC→

2. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→ = [AB→AC→]

3. Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B, hoặc C)

4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến n→ = [AB→AC→]

Chú ý: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c) có dạng là:

x/a + y/b + z/c = 1 với a.b.c ≠ 0.

Trong đó A ∈ Ox; B ∈ Oy; C∈ Oz. Khi đó (P) được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

* Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm M và nhận hai vecto u→v→ làm vecto chỉ phương

1: Vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P): n→ = [u→v→]

2. Mặt phẳng ( P) đi qua điểm M và nhận vecto n làm VTPT

=> Phương trình mặt phẳng (P).

2. Ví dụ minh họa

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; -2; 0), B(1; 1; 1) và C(0; 1; -2)

A. 9x- 3y+ 3z- 11= 0    B. 9x+ y- 3z – 7= 0

C. 9x- y- 3z- 11=0    D. 9x- y+ 3z- 10= 0

Hướng dẫn giải:

Ta có: AB→(0;3;1); AC→ => [AB→AC→]= ( – 9; -1; 3)

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta có 21 dạng Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải nên n cùng phương với [AB, AC]

Chọn n→( 9;1; -3) ta được phương trình mặt phẳng (ABC) là

9.( x – 1)+1.(y + 2) – 3( z – 0) = 0 hay 9x + y – 3z – 7 = 0

Chọn B.

Dạng 5. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.

1. Phương pháp giải

+ Đường thẳng d: 21 dạng Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải

 nhận vecto u(a; b; c) làm vecto chỉ phương.

Đường thẳng : 21 dạng Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải nhận vecto u(a; b; c) làm vecto chỉ phương.

+ Để viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua M và vuông góc với đường thẳng d ta làm như sau:

Tìm vecto chỉ phương của d là ud

Vì d ⊥ (α) nên (α) có vecto pháp tuyến là nαud

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháp tuyến nα

2. Ví dụ minh họa

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng d: 21 dạng Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải

A. 2x – z = 0    B. –y+ 2z= 0     C. x- y+ 2z= 0     D. x + z = 0

Hướng dẫn giải:

+Đường thẳng d có vecto chỉ phương ud(2;0;-1)

+Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d) nên (P) có một vecto pháp tuyến là:

nP ud(2; 0; -1)

+ Khi đó phương trình mặt phẳng (P) đi qua O và có vecto pháp tuyến nP là:

2(x – 0) + 0 (y -0) – 1. (z – 0) = 0 hay 2x – z = 0

Chọn A.

Dạng 6. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

1. Phương pháp giải

+ Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(a; 0; 0) ; B( 0; b; 0) , C(0;0; c) với abc ≠ 0 có phương trình: x/a + y/b + z/c = 1

+ Phương trình mặt phẳng có dạng: x/a + y/b + z/c = 1 cắt ba trục Ox; Oy;Oz lần lượt tại các điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C( 0; 0; c) .

2. Ví dụ minh họa

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): 2x – y+ 2z – 4= 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn?

21 dạng Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng ( P) cắt các trục tọa độ Ox; Oy; Oz lần lượt tại A( 2; 0; 0); B( 0; -4; 0) và C(0; 0; 2)

=> Phương trình mặt phẳng ( P) theo đoạn chắn là: x/2 + y/-4 + z/2 = 1

Chọn C.

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ và song song với Δ’; (Δ; Δ’ chéo nhau).

1. Phương pháp giải

Tìm vecto chỉ phương của ∆; ∆’ là u1 ; u2

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là nα = [u1u2]

Lấy 1 điểm M trên đường thẳng ∆

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có 1 vecto pháp tuyến.

2. Ví dụ minh họa

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng

21 dạng Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải

A.– 6x+ y+ 2z- 3= 0    B. -6x+ y+ 2z+ 3= 0

C. 6x+ y- 2z+ 1= 0    D. 6x- y- 2z+ 4= 0

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d1 đi qua điểm M (1; 1; 1) và có vecto chỉ phương u1(0;-2;1)

Đường thẳng d2 đi qua điểm N (1; 0;1) có vecto chỉ phương u2(1;2;2)

Ta có: [u1,u2] = ( – 6; 1; 2)

Gọi n là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có: 21 dạng Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải nên  cùng phương với [u1,u2] . Chọn n ( -6; 1; 2)

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1; 1; 1) và nhận VTPT n (-6; 1; 2) có phương trình là:

– 6(x -1) + 1( y- 1) + 2( z – 1)= 0 hay – 6x + y + 2z + 3= 0

Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là – 6x + y + 2z + 3= 0

Chọn B.

Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng (β) .

1. Phương pháp giải

• Tìm vecto pháp tuyến của (β) là nβ

• Tìm vecto chỉ phương của Δ là uΔ

• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng α là nα

• Lấy một điểm M trên Δ

• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có VTPT nα

2. Ví dụ minh họa

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 21 dạng Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải và vuông góc với mặt phẳng (Q): x+ 2y – z+ 10 = 0

A. x+ z = 0    B. x+ y +1= 0    C. y – z + 1= 0     D. x – y + 2z= 0

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua điểm A ( -1; 2; 1) và có vecto chỉ phương u→ (-1;2;1)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ = (1;2;-1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với (Q) nên (P) có một vecto pháp tuyến là

n→ =[u→ ,nQ ]= ( – 4; 0; -4) = – 4(1; 0; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A( -1; 2; 1) và có VTPT n’→ (1; 0; 1) là:

1( x + 1) + 0( y – 2) + 1( z – 1) = 0 hay x+ z = 0

Chọn A.

Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 2 đường thẳng cắt nhau d và d’

1. Phương pháp giải

• Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u1; u2

• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = [u1; u2]

• Lấy 1 điểm M trên d

• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến.

2. Ví dụ minh họa

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng

21 dạng Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải có phương trình là

A. (P): x+ y- z+ 2= 0    B. (P) : x- y- z+ 2= 0

C. (P) : x- z+ 2= 0    D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d1 đi qua điểm M(-2; -1; 1) và có vecto chỉ phương u1 (2; 1; 1)

Đường thẳng d2 đi qua điểm N(-1; 0; 1) và có vecto chỉ phương u2 (1; -1; 2)

Ta có: [u1,u2] = ( 3; -3; -3); MN1 (1; 1;0)

Do MN→ . [u1,u2] = 3. 1+ (- 3).1+ (- 3). 0 = 0 nên đường thẳng d1 và d2 cắt nhau.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và d2 cắt nhau nên (P) có một vecto pháp tuyến là

n→ = [u1,u2] = (3; -3; -3) = 3( 1; -1; -1)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

1( x+ 2) – 1( y+ 1) – 1( z- 1) = 0 hay x- y – z + 2= 0

Chọn B

Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song d và d’

1. Phương pháp giải

• Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u1;u2 lấy M thuộc d; N thuộc d’

• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = [u1; MN]

• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháp tuyến.

2. Ví dụ minh họa

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng 21 dạng Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải

A. 6x+ 3y+ z-10= 0    B. 6x+ 3y+ z- 15 = 0

C. 6x- 3y+ z- 14= 0    D . Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua điểm M (1; -1;12) và có vecto chỉ phương u1(1; -1; -3)

Đường thẳng d’ đi qua điểm N (1; 2;3) và có vecto chỉ phương u2(1; -1; -3)

Ta có: [u1,u2] = (0; 0; 0); MN(0;3; -9)

Do [u1,u1] = (0; 0; 0) nên đường thẳng d và d’ song song với nhau.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và d’ song song nên (P) có một vecto pháp tuyến là

n→ = [u1,MN→] = (18, 9, 3) = 3( 6; 3; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến (6; 3; 1) và đi qua điểm N (1; 2; 3) là:

6( x – 1)+ 3(y -2) +1(z – 3) = 0 hay 6x + 3y + z – 15 = 0

Chọn B.

Dạng 11. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và đi qua điểm M không thuộc d

1. Phương pháp giải

• Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng d là u . Lấy 1 điểm N trên d, tính tọa độ vecto MN

• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = [u, MN]

• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến.

2. Ví dụ minh họa

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (4; -3; 1) và đường thẳng d: 21 dạng Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.

A. 10x+ 6y – 13z + 1= 0    B. 10 x – 6y- 13z + 12 = 0

C. 10x + 6y – 13z – 9 = 0    D. 10x – 6y – 13z+ 19 = 0

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua điểm N(-1; 1; -1) và có vecto chỉ phương u(2;1; 2); AN( – 5; 4; -2)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên (P) có một vecto pháp tuyến là

n = [u; AN] = ( – 10; -6; 13) = – (10; 6; -13)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

10(x – 4) + 6 ( y+ 3) – 13( z- 1) = 0 hay 10x + 6y – 13z – 9 = 0

Chọn C.

Bài viết trên đây, chúng tôi đã chia sẻ đến quý bạn đọc cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian và các dạng toán thường gặp. Hi vọng, đây sẽ nguồn tư liệu hữu ích giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu nữa bạn nhé ! 

Đăng bởi: ukunifair

Chuyên mục: Tin tức

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button