Tin tức

Cách viết phương trình mặt cầu cực hay và các dạng toán

Cách viết phương trình mặt cầu cực hay và các dạng toán

Lý thuyết về phương trình mặt cầu cũng như cách viết phương trình mặt cầu là một trong những phần kiến thức Hình học trọng tâm của lớp 12 có nhiều trong các đề thi quan trọng. Bài viết hôm nay, Ukunifair sẽ tổng hợp lại các kiến thức cần ghi nhớ và nhiều dạng toán thường gặp. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1. Mặt cầu là gì ?

Bạn đang xem: Cách viết phương trình mặt cầu cực hay và các dạng toán

Trong không gian, mặt cầu là quỹ tích các điểm cách đều một điểm cho trước một khoảng không đổi. Khoảng không đổi đó gọi là bán kính. Điểm cho trước gọi là tâm mặt cầu.

Mặt cầu cũng có thể được định nghĩa theo khái niệm mặt tròn xoay. Theo đó mặt cầu là mặt tròn xoay khi quay đường tròn quanh một đường kính.

2. Các dạng phương trình mặt cầu

các dạng phương trình mặt cầu

II. CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU HAY NHẤT

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu I(a, b, c) bán kính R. Khi đó phương trình mặt cầu tâm I(a,b,c) bán kính R có dạng là: (xa)2+(by)2)+(cz)2=R2

Hoặc: x2+y2+z22ax2cz+d=0 với a2+b2+c2>d

cách viết phương trình mặt cầu trong không gian

Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu (S): (xa)2+(by)2)+(cz)2=R2 có tâm I, bán kính R và mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0

Ta có khoảng cách d từ mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P):  

  • d > R: mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung.
  • d = R: mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc tại H.
  • d < R: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có tâm K là hình chiếu của I trên (P) và bán kính r= √R2 – d2.

Điểm H được gọi là tiếp điểm.

Mặt phẳng (P) được gọi là tiếp diện.

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

lý thuyết viết phương trình mặt cầu trong không gian

Cho mặt cầu (S): (xa)2+(by)2)+(cz)2=R2 có tâm I, bán kính R và đường thẳng Δ

Ta có khoảng cách d từ mặt cầu (S) đến đường thẳng Δ:

  • d > R: Đường thẳng Δ không cắt mặt cầu (S)
  • d = R: Đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu (S)
  • d < R: Đường thẳng Δ cắt mặt cầu (S) theo dây cung AB=R2d2

III. CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN

Dạng 1: Nhận biết các yếu tố từ phương trình mặt cầu.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa tâm và bán kính mặt cầu:

– Mặt cầu có phương trình dạng (x−a)2 + (y−b)+ (z−c)2 = R2 có tâm (a;b;c) và bán kính R.

– Mặt cầu có phương trình dạng x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 có tâm I(−a;−b;−c) 

Viết phương trình mặt cầu hay nhất (ảnh 3)

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu.

Phương pháp chung:

* Cách 1: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng tổng quát.

– Tìm tâm và bán kính mặt cầu, từ đó viết phương trình theo các dạng vừa nêu ở trên.

* Cách 2: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng khai triển.

– Gọi mặt cầu có phương trình x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0

– Sử dụng điều kiện bài cho để tìm a,b,c,da,b,c,d.

Một số bài toán hay gặp:

– Viết phương trình mặt cầu tâm và bán kính đã cho.

– Mặt cầu có đường kính AB: tâm là trung điểm của AB và bán kính 

Viết phương trình mặt cầu hay nhất (ảnh 4)

.- Mặt cầu đi qua 44 điểm A, B, C, D:

+) Gọi mặt cầu có phương trình x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0

+) Thay tọa độ các điểm bài cho vào phương trình và tìm a,b,c,d

Dạng 3: Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm

Có nhiều cách để giải dạng toán này. Trong đó cách làm nhanh hơn là thay tọa độ 4 điểm vào dạng phương trình tổng quát. Sau đó dùng máy tính bỏ túi giải hệ 4 phương trình 4 ẩn.

Ví dụ minh họa (Tự luận):

Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(-1;-1;-1), B(1;0;0), C(0;2;0), D(0;0;3). Mặt câ`u (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D có phương trình là gì?

Lời giải:

Viết phương trình mặt cầu hay nhất (ảnh 5)

Dạng 4: Viết phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng

Có duy nhất một mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng d. Bán kính R của mặt cầu này chính là khoảng cách từ I đến d.

Viết phương trình mặt cầu hay nhất (ảnh 6)

Ví dụ minh họa (Tự luận):

Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm I(2;-1;3). Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Oy là gì?

Lời giải:

Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ I tới trục Oy: R=|-1|=1.

(Mẹo: Chiếu lên trục nào thì lấy trị tuyệt đối cái đó, ví dụ ở đây chiếu lên trục Oy thì ta chỉ cần lấy trị tuyệt đối của tung độ).

Vậy phương trình mặt cầu tiếp xúc với trục Oy cần tìm là : (x-2)²+(y+1)²+(z-3)²=1

Bài 2: Cho điểm A (1; 2; 4) và mặt phẳng (P): x + y + z =1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A, biết mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo một thiết diện là một đường tròn có chu vi 4π

Hướng dẫn:

Gọi r là bán kính thiết diện

Theo bài ra, đường tròn thiết diện có chu vi 4π

⇒ 2πr = 4π ⇒ r=2

Phương trình mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

d(I;P)Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải= 2√3

Gọi R là bán kính mặt cầu

⇒ R=√(r2+d2 )=4

Phương trình mặt cầu tâm I, bán kính R = 4 là:

(x-1)2+(y-2)2+(z-4)2=16

Dạng 5: Xác định tâm và bán kính mặt cầu có phương trình tổng quát

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S): 2x²+2y²+2z²-8x+8y-4z=0 có tâm và bán kính lần lượt là

A. I(-2;2;-1), R=3.

B. I(2;-2;1), R=3.

C. I(-2;2;-1), R=9.

D. I(2;-2;1), R=9.

Lời giải + Hướng dẫn:

Trước hết, chúng ta cần kiểm tra hệ số của x², y², z² nếu khác 1 thì cần chia cả 2 vế cho số phù hợp. Ở bài này chúng ta chia cả 2 vế của phương trình cho 2 ta được (S): x²+y²+z²-4x+4y-2z=0.

Tiếp theo để xác định tọa độ tâm mặt cầu chúng ta lấy hệ số của x, y, z chia cho -2 ta được: I(2;-2;1).

Để xác định bán kính mặt cầu ta lấy tổng bình phương các tọa độ của tâm trừ hệ số tự do được kết quả bao nhiêu thì lấy căn bậc 2.

Bán kính mặt cầu là R²=2²+(-2)²+1²-0=9⇒ R=3. Chọn đáp án B.

Bài 2: Cho 4 điểm A (3; -2; -2), B (3; 2; 0), C (0; 2; 1) và D (-1; 1; 2). Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD).

Hướng dẫn:

BC→=(-3;0;1); BD→=(-4; -1;2)

⇒ [BC→ , BD→ ]=(1;2;3)

⇒ Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) là: n→ =(1;2;3)

Phương trình mặt phẳng (BCD) có VPPT n→=(1;2;3) và đi qua điểm B(3; 2; 0) là: x-3+2(y-2)+3z=0

⇔ x+2y+3z-7=0

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) là:

d(A;(BCD))Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải= √14

Khi đó, phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (BCD) là:

(x-3)2+(y+2)2+(z+2)2=14

Bài viết trên đây đã giới thiệu đến quý thầy cô và các bạn học sinh cách viết phương trình mặt cầu cực hay và các dạng bài tập toán thường gặp. Hi vọng, bài viết đã cung cấp thêm cho nguồn tư liệu quý giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian tại đường link này bạn nhé !

Đăng bởi: ukunifair

Chuyên mục: Tin tức

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button